[궁금한S] 음악 속에 '수학'이 있다?…음악에 담긴 수학 원리

[앵커]
과학에 대한 모든 궁금증을 풀어주는 궁금한 S 시간입니다. 음악이 아름답게 들리는 원리가 수학과 관련되어 있다는 사실, 알고 계셨나요?

음악과 수학엔 어떤 연관성이 있는지 지금 바로 화면으로 만나보시죠.

[이효종 / 과학유튜버]
기원전 500년경의 그리스, 세상을 수학으로 이해하던 수학자이자 철학자 '피타고라스'는 어느 날 대장간을 지나다 멈춰 섰습니다. 늘 소음으로 들렸던 대장간의 망치질 소리가 각기 다른 음을 내면서도 서로 조화롭게 어울렸기 때문인데요. 궁금하게 생각한 피타고라스는 대장간에 들어가 망치를 테스트해보기 시작했고, 망치의 크기에 따라 소리의 높낮이가 달라진다는 것을 깨달았습니다. 피타고라스는 무게가 12와 6인 망치, 즉 비율이 2:1인 망치를 함께 두드리면 높이만 다를 뿐 같은 소리, 즉 한 옥타브 차이의 소리가 들린다는 것을 발견했습니다.

이후 피타고라스는 직접 하프를 연주하면서 음악의 소리를 분석했습니다. 하프의 소리가 가장 조화로울 때가 하프 현의 길이와 현에 미치는 힘이 간단한 정수비례 관계를 나타낼 때라는 사실을 밝혀냈습니다. 즉 한 옥타브는 1:2의 비, 5도음은 2:3의 비를 이룬다는 것 등인데요. 고대 그리스의 5도 음률에 기초한 피타고라스 음률이 곧 오늘날 우리가 음정이라고 부르는 것의 기원이며 음향학의 출발이 되었습니다. 이후 프랑스의 메르센과 독일의 바흐 등이 피타고라스의 음률을 평균율로 발전시켰고, 오늘날 평균율은 음정과 다음 음정 사이의 비율이 약 1.06으로 일정해졌습니다. 이 평균율은 가장 아름다운 악기인 피아노에 사용돼 다른 악기로, 다른 조로 바꿔도 균등한 울림을 얻을 수 있습니다.

피아노가 아름다운 악기로 불리는 또 다른 이유는 피보나치 수열에 따라 건반이 만들어졌기 때문입니다.

[이효종]
1:1.618, 예술가들 사이에서, 가장 아름답다고 알려진 비율.

조각이나 그림에서 많이 찾아볼 수 있는 비율이죠.

이 비율은 피보나치 수열과 관련이 깊습니다. 피보나치 수열이란, 두 수의 합이, 바로 뒤의 수가 되는, 수의 배열입니다. 그리고 서로 이웃한 수를 나누면 그 아름다운 비율과 그 비율에 가까운 수들이 나오죠.

음악의 작곡에는 이 피보나치 수열과 황금비율이 숨겨져있는 경우가 많습니다.

널리 알려진 곡, 베토벤 교향곡 5번, 운명을 들어볼까요? 1악장에서 빠르게 연주되는, "빠바바밤~", 이라는 주제부. 이 주제부를 두고 앞에 377마디. 뒤에 233마디가 배치되어있습니다. 377은 피보나치 수열상 14번째 수이고 233은 13번째 수가 됩니다.

377 대 233의 비율은 1:1.618로 황금비율이 나타나죠.

음악과 수학, 음악과 과학을 연관 지을 때 음파에 대한 이야기를 빠트릴 수 없습니다. 세상에 존재하는 모든 소리는 매질인 공기를 진동시키며 퍼져나가는 파동인데요. 이는 악기에서 더욱 중요해집니다. 악기는 종류에 따라 다르긴 하지만 특정 음에 따라 비교적 명확한 파형을 가지고 있습니다. 파동의 특성 중 하나는 서로 다른 파동들과 간섭을 일으키기 때문에, 합성이 가능하다는 것인데요.

파형과 파동의 세기, 주파수 등에 따라 무한한 형태의 파동을 합성하는 것이 가능해지며 악기를 이용해 아름다운 음악을 만들어낼 수 있는 것도 이러한 원리입니다. 하지만 아무 음이나 막 낸다고 아름다운 소리가 나는 것은 아닌데요. 함께 연주했을 때 조화롭게 아름다운 소리를 내는 조합이 있는가 하면 전혀 어울리지 않아 듣기 싫은 소리를 내는 경우도 있습니다. 음악에서는 이를 '화성학'이라는 학문을 통해 설명합니다.

프랑스의 수학자 '푸리에'는 어떤 주기적 파형도 많은 수의 기본적인 파형의 합으로 나타낼 수 있다는 '푸리에 정리'를 만들었습니다. 모든 주기적인 현상을 삼각함수의 선형 결합으로 나타낼 수 있다는 건데요. 이는 음파에서도 적용이 가능한데요. 여러 가지 악기들의 조화로운 연주로 음악을 만들어내는 오케스트라도 파형 분석을 통해 어떤 악기가 어떤 소리를 냈는지, 그리고 같은 악기라도 누가 더 큰 소리를 냈는지 등을 세세히 분석할 수 있습니다.

이를 반대로 생각한다면 기본적인 음을 내는 악기를 어떻게 조합하면 어떤 소리를 낼 것이며 얼마나 조화로운 소리를 낼 것인지를 알 수 있는 것이죠. 이처럼 음악은 수학이나 과학과 많은 연관성을 가지고 있습니다.

피타고라스 외에도 양자역학의 기초를 세웠고 노벨상을 받은 막스 플랑크는 평소 작곡을 즐기며 오케스트라를 지휘했고요. 상대성이론을 발견한 아인슈타인도 외출 후 집에 오면 반드시 피아노를 연주했다고 합니다.

천재들에게 영감을 주는 원천이자, 자신의 전문 분야를 확장하는 도구로 사용된 것이 바로 음악인 것이죠.

수학과 물리학 분야의 뛰어난 천재들이 음악에 남다른 재능을 보이는 경우가 많은데요. 음악을 비롯한 예술적 재능은 수리 능력과 어떤 상관관계가 있는 걸까요?
미국 뉴욕과학아카데미 연구팀은 초등학교 2학년 학생 144명을 대상으로 한 주에 한 번씩 1년 동안 피아노 레슨을 받게 한 후, 두뇌에서 일어나는 신경 활동 패턴을 측정하고 수학 시험을 치르게 했습니다. 그 결과 피아노를 배운 학생 50%가 4학년생들이 풀 수 있는 수학 문제를 척척 풀어냈고, 또 악기 교육을 받은 아이들의 뇌량이 보통 아이들보다 커졌는데요. 뇌량은 신경섬유의 끈으로 좌뇌와 우뇌를 잇는 교량입니다.

또 캐나다 브리티시 컬럼비아 공립 학교 학생을 대상으로 조사한 결과, 초등학교부터 쭉 음악을 배워 온 학생이 그렇지 않은 학생보다 영어나 수학, 과학에서 나은 성취를 보였는데요. 그리고 이런 경향은 노래보다 악기를 배운 학생에게 더 크게 나타났습니다.
어떻게 음악 학습이 수학을 잘하게 만들게 된 걸까요? 전문가들은 음악은 풍부한 상상력과 섬세한 감성을 표현해내는 우뇌의 영역에 속하지만, 수학의 논리적 지능을 지배하는 좌뇌도 필요로 하기 때문이라고 설명했는데요.

예를 들어 피아노를 칠 때 오른손과 왼손의 악보는 각각 다른 음을 동시에 치도록 요구하는데, 이것은 양쪽 뇌를 동시에 움직이도록 훈련하는 것과 같다고 합니다.
각자 다른 정보를 동시에 받아들여 파악하고, 다시 각각의 손에 다른 지시를 내려야 하는 과정 자체가 머리를 끊임없이 움직이는 일이라는 거죠.

또한, 음의 높낮이나 박자는 수학적인 규칙에 따라 변하므로 음악 감상을 하며 머릿속에서 떠올리는 것만으로도 두뇌를 자극할 수 있다고 합니다. 미국 캘리포니아대학의 고든 쇼 박사에 의하면 어린 학생들은 수학에서 중요하게 사용되는 비례의 개념을 이해하는 데 어려움을 느끼는데, 음악 훈련이 뇌의 하드웨어를 개선해 이런 능력을 길러준다고 이야기했습니다.

오늘 <궁금한 S>에서는 음악과 수학의 특별한 연결고리에 대해 알아봤는데요. 음악이 아름답게 들리는 원리가 수학과 관련되어 있었다는 사실이 정말 신기한 것 같네요.

그럼 <궁금한 S>는 여기서 인사드릴게요. 과학에 대한 궁금증이 있다면 언제든 유튜브에 사이언스 투데이를 검색해주세요. 이상 궁금한 S였습니다.

박순표[spark@ytn.co.kr]